不等式证明 变形技巧 【每日一题】2016年10月21日（周四）

高考复习数学教案62不等式证明一字文档下载推荐.docx

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1.（正文）如果a和bR，有如下不等式：a2+32a；a2+b22(ab1); a5++a2b3；2+20，a2+32a；a2+b22a+2b+2=(a1)2+(b+1)20，a2+b22(ab1)；a5+=a3(a2b2)+b3(b2a2)=(a2b2) (a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2).(ab)20, a2+ab+b20, 但符号a+b 的不确定，a5++a2b3 不正确；当 aR 时，a+2 不正确。答案： 5. 船在A、B 之间来回流动一次的平均速度v1 与静水中速度v2 的关系为_。解决方案

2、分析：假设A到B的距离为s，小船在静水中的速度为v2，水流的速度为v（v2v0），那么小船行驶的时间t=+=在流水中来回A和B，平均速度v1=.v1v2=v2=0，v1v2。答案：v1v2规范例子分析【例1】设a0，b0，证明：()()a+b。分析：不等式的两端都是多项式的形式，所以可以用比差法或业务比法来证明。证明方法1：左右()0。原不等式成立。证明方法2：左0，右0，1。原不等式成立。经历三个步骤：差（或商）、变形、判断。变形的主要手段是一般除法、因式分解或公式。在变形过程中，也可以使用基本的不等式缩放，如证明2。下面的例子3是公式法和匹配法的综合应用。【例2】已知a、b、

3. x, yR+ 和, xy。证明：。分析：观察待证明不等式的特点，使用比较法或分析法更合适。证明方法一：（差值比较法）=，和a，bR+，ba0。而xy0，bxay.0，即。证明二：（解析法）x,y,a,bR+，要证明，只需证明x(y+b)y(x+a)，即证明xbya。0，ba0。和 xy0，知道 xbya 是明确成立的。因此，原不等式成立。思考并讨论如果在这个例子中使用函数的单调性，如何构造函数？解1：设f(x)=，很容易证明f(x)在(0,+)是一个增函数，所以设g(x)=，很容易证明g(x)在 (0, +), a, bR+.ab.g(a)g(b) 上单调递减，即命题被证明。解决方案2：原来的不等式是，为此构造函数f(x)=,x(0,+)。很容易证明 f(x) 在 (

4, 0, +) 是单调递增函数，即。【例3】某食品厂定期采购面粉。据了解，工厂每天需要6吨面粉，每吨面粉的价格为1800元。面粉的储存 其他费用平均每天每吨3元，每次买面粉需要900元运费。(1) 工厂买面粉多少天，这样一天的总成本最低？（2）提供面粉 公司规定，一次购买不低于210吨面粉时，其价格可享受10%的优惠（即原价的90%）。工厂是否考虑利用这一优惠条件？请说明原因。解决方法：（1）设置工厂每x天采购一次面粉，采购量为6x t。从问题来看，面粉储存等其他费用为36x+6(x1)+62+61=9x(x+1)。设置平均每天总费用为y1元，则y1=9x(x+1)+9

5. 00+61800=+9x++10809=10989。当且仅当 9x=，即 x=10，取等号，即工厂每 10 天采购一次面粉，做到每天支付的总金额。成本是最低的。（2）如果厂家利用这个优惠条件，至少每35天一次，买面粉的总成本是每天y2元，那么y2=9x(x+1)+900+.90=+9x+9729 (x35)。设f(x)=x+(x35)，则f(x1)f(x2)=(x1+)(x2+)=,x2x10,x1x20,.f(x​​1)f(x2) 0, f(x1) f( x2)，即 f(x)=x+，当 x35 为增函数时。当x=35时，f(x)有最小值，此时

6、工厂应接受此优惠条件。通过level 1巩固训练基础。设x0，y0，xy(x+y)=1，则A.x+y2+2 B.x+y2+2C.x+y(+1)2 D. x+y(+1)2 分析：x0, y0, xy()2。从 xy(x+y)=1()2(x+y)1.x+y2 +2 得到。答案：B2。知道x,yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy，那么M和N的大小关系就是A.MN B.MN CM=N D.不确定分析：MN=x2+y2 +1(x+y+xy)=(x2+y22xy)+(x22x+1)+(y22y+1)=(xy)2+(x1)2+(y1)20。答案：A3。设a0,b0,a2+=1，则a的最大值为_。分析：a2+=1

7. a2+=.a=a=。答案：4、如果符号“”代表求两个实数a和b的算术平均值的运算，即ab=，那么两边都包含运算符号“”和“+”，还有一个方程可以对任意三个实数 a、b 和 c 都成立，可以是 _。解析：ab=，ba=，ab+c=ba+c。答案：ab+c=ba+c。思考：“运算”的分配规律是否成立？即，a(b+c)=ab+ac。答案：否）30，即（）（）0。所以。已知

8、1、0，证明：loga(a+)loga+(a+2)。证明：loga(a+)log(a+)(a+2)=a1,0,lga0,lg(a+2)0, lgalg(a+2).lgalg(a+2)()2=22= lg2(a+).0.loga(a+)log(a+)(a+2)。培养能力 7.已知x0，y0，若不等式+m成立，求实数m的最小值。解析：+m成立，m成立。m 的最小值是最大值。解：+m成立，m成立。x0, y0, = .=.m 的最小值是。点评：分离参数法是寻找参数范围的常用方法，约简是解决此类问题的常用方法。8. 有点难！证明：在非 RtABC 中，如果 ab、ha 和 hb 分别代表 a 和 b 边的高度，则

9.有a+hab+hb。证明：设S代表ABC的面积，则S=aha=bhb=.ha=bsinC, hb=asinC.(a+ha)(b+hb)=a+=(ab) (1sinC).C, .(ab)(1sinC)0.a+hab+hb。探索创新 9. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x= 0 的两个根x1 和x2 满足1x1x2。(1)当x(0,x1)时，证明xf(x)x1；(2) 令函数 f(x) 的图像关于直线 x=x0 对称，并证明 x0 。证明： (1) 令 F(x)=f(x)x, x1, x2 为方程f(x)x=0，F(x)=a(xx1)(xx2)。当 x(0 , x1) 时，由

10.在x1x2中，(xx1)(xx2)0。和a0，得到F(x)=a(xx1)(xx2)0不等式证明 变形技巧，即xf(x)。而x1f(x)=x1x+F(x)= x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2), x1x0, 1+a(xx2)=1+, x1f(x)0 ，即 f(x)x1。综上，我们可以看到xf(x)x1.(2) 从题中我们知道x0=.x1,x2是方程f(x)x=0的根，即x1,x2是方程 ax2+(b1)x+c=0, x1 +x2=.x0= 的根。和 ax21，x0=。总结 1.比较法有两种形式：一种是差，一种是商。用差分法证明不等式是证明不等式的最基本、最常用的方法。它基于不等式的基本性质。2

11、步骤为：进行差（商）变形判断。变形的目的是判断。如果是差值，就用0来判断关系。为了方便判断，经常把表格改成一个产品或者一个完整的正方形。商，如果双方都为正，则与1判断关系。 3. 有时需要对不等式进行等价变形后才能证明，有时几种证明方法结合使用。4、应用中值定理求最大值时，要掌握定理成立的三个条件是“一个正项为正；两个定积或和为定值；三个是否-相位等号可以得到”。如果忽略某个条件，则会发生错误。教师下载中心 教学点睛之笔 1. 在证明不等式的各种方法中，差比较法是最基本、最重要的方法。它用不等式两边的差是正还是负来证明不等式。用途广泛，必须精通。2.对于公式a+b2，ab()2应该解释清楚

12、功能、使用条件和内部联系，这两个公式也体现了ab和a+b的变换关系。扩展问题示例 [示例 1] 设 a, bR, 关于 x 的方程的实根是, 。如果ab1，证明：1，1。方法1：a，b，ab1.1，(1)(1)0.1。同理不等式证明 变形技巧，1.方法二：设f(x)=x2axb，则f(1)1ab1(ab) 110, f(1) 1ab1(ab) 0.0a1, 1a1。方程f(x) 0 的两个实根在(1, 1)中，即1, 1。 说明：证明先用吠陀定理，绝对值不等式的性质正好可以用来分解因式; 证明二考虑根的分布，证明两个根在(1, 1)中。数字 x 和 y 是常数吗？试着证明你的结论。解：当x=y时，可以从不等式中得到C=。下面从两个方面来证明。证明+, 这个不等式 3x(x+2y)+3y( 2x+y)2(2x+y)(x+2y)x2+y22xy。再次证明+，这个不等式3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y)2xyx2 +y2。综上所述，可以看出存在一个常数 C=，这使得不等式对于任何正数 x 和 y 都是常数。