0.99是多少钱（和金钱关系最大的数学常数）

这是赛先生2017科普创作协同行动的第9篇文章。

撰文：余小鲁

责编：李娟 韩琨

e是什么？

让我们先尝试回答一个看似简单的问题：e是什么？

这个问题也许有一百个答案，笔者无法判断哪个答案最为美妙、自然、深刻，但可以确信，最直接最乏味的答案是：

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……（小数点后五十位）

一个调皮神秘的记号e，变成了一堆数字的堆砌，这大概不会是读者们投票选题所要的答案。那么，笔者尝试给出第二个答案：e是所有数学常数中，跟我们口袋里的“银子”关系最大的一个。

e与金钱的关系可以追溯到1683年。当时，雅各布•伯努利（在数学领域，称呼伯努利要特别小心，因为伯努利家族至少有八位著名的数学家，对我们来说，他们都叫伯努利）思考了这样一个问题：你的账户里面有一块钱，假设一年银行给你的利息是100%。如果利息在年终一次性结算，过了一年你的帐户里面就有两块钱啦。但如果把这个利息拆散，多发几次会如何？

举个例子，一年发两次，也就是六个月发一次50%的利息，一年后你将有(1+0.5)^2=2.25块钱。如果每个月发一次1/12的利息，那么一年之后你将有(1+1/12)^12=2.61块钱。伯努利非常开心地发现，这么算会让自己更富有，就开始认真研究：如果一年发无数次利息的话，自己一块钱的帐户将会变成：(1+1/n)^n=? （当n趋于正无穷大）

伯努利首先注意到，当n趋于正无穷大，这个式子的极限是存在的，而且他用二项式展开证明了极限值在2和3之间。也就是说，你不会因此变成世界上最富的人。如果大家有兴致自己去算这个式子的值（比如说n等于一万），那么将会回到文章开头最乏味的答案的一小部分。

如果大家不是太贪心，只是想让自己口袋里的钱翻倍而已，笔者可以教大家一个有趣的口算办法。举一个最熟悉的例子，你买了只股票天天涨停（一天10%），七天就翻倍了。如果天天涨6%，几天翻倍呢？大约12天。口算的公式特别简单：xy=72。

每天涨x％，那么翻倍需要的天数大约为y天。比如说，每天赚一个点，x＝1，那么y＝72。72天之后，你的钱有(1+1%)^72=2.04。学会了xy=72这个公式，大家可以在家里掐指算一下自己发财的时间（图1）。这条公式，其实无非说的就是中文里面利滚利的“滚”字，非常生动。

说回伯努利发现了跟金钱关系最大的复利，极限居然就是我们文章的主题e=(1+1/n)^n（当n趋于正无穷大），但伯努利并没有称呼这个东西叫做“e”。

图1. “复利是世界上最伟大的力量”——爱因斯坦（图片来源：pinterest）

欧拉与e

第一个用e来表示上面复利公式的极限的，是另一位大数学家——欧拉。事实上，欧拉有无数得意之作，跟e相关的工作可称为他的代表作，必须用自己的名字Euler的首字母来表示。（这个猜测可能是小人之心，也许e就是指数expotential的首字母而已，大家姑且听之。）e在数学上称为欧拉数（Euler’s Number）。注意，这不是欧拉常数（Euler’s Constant），欧拉常数是用另外一个美丽的记号来表示。其实，这个区分是一种繁文缛节。叫欧拉数的还有很多，流体力学里面的欧拉数、拓扑学里面的欧拉数……每一个都代表了欧拉在其领域的重要贡献。世人艳称的最美数学公式e^(i)+1=0，就出自欧拉之手。

关于欧拉与e相关的种种重要贡献，作者在此不再一一介绍。现在只说欧拉一个看起来非常平庸的工作。这个工作就是手算，有足够的草稿纸和足够的铅笔，一个初中生懂得加减乘除就可以得到欧拉这个工作的结果。但实际上，现在的数学史专家都没弄明白欧拉自己是怎么做到的。

1748年，欧拉出版了《无穷小分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum，也作《无穷小分析导论》），在这本书中，他把e手算到了小数点后十八位！即

e=2.718281828459045235

笔者实在无法想象，在没有计算机的年代，究竟是如何做到的。如果我们最直接的用伯努利的利滚利公式，收敛也是不可思议的慢，如1.001^1000=2.717，小数点后第三位都到不了。类似的道理，用e=1+1/1!+1/2!+1/3!+…来手算，要得到这个精度，大约要算到前20项。大家可以想象一下，手算20的阶乘的倒数，是怎样的一种体验。

欧拉自己发明了e的很多其他表达式，如一些看起来特别诡异的连分式。但无论用哪一种表达式手算，要算到18位，都很难想象（注：几年后，欧拉给出了e的前23位）。一种比较合理的猜测，就是欧拉找到了一个巧妙计算e的办法，要么是收敛快的级数表达，要么是用概率论相关的实验大数统计。欧拉的全集到现在还没出完，已经出到80卷，接近三百斤重！全集内容浩如烟海，有十七卷属于数学分析，被称为“分析的化身”，其他主要包括数论、拓扑学、物理学、天文学、逻辑学和音乐的数学理论。

对于这么重要的数学常数，很多人都想多记住几位，没事可以在朋友面前耍酷。那么，请大家跟我念下面这句话：By omnibus I traveled to Brooklyn（俺坐公车去了布鲁克林）——这是美国人对e的记忆法，傻得非常可爱。by有两个字母，omnibus有七个字母，以此类推，记住了这句话，就记住了e=2.71828。据说还有更傻的句子，能记十一位的，笔者在此就不推荐了。

其实，中国也有一套历史悠久的传统编码系统——用汉字在《千字文》中出现的次序来排序（天地玄黄、宇宙洪荒……），古代科举考场的房间号就是这么排的（图2）。很多人熟悉的“‘天’字第一号”的说法，也正是出自《千字文》。至于e，记住四个字就够用了——地洪天荒，这四个字在《千字文》中出现的次序（2、7、1、8）排在一起，便可记住e=2.718。

图2. 明清科举考场的房间编号，局部来自《千字文》中“剑号巨阙，珠称夜光”。

e与自然究竟有什么关系？

下面让我们来说一说，e为什么叫自然底数。自然底数是自然对数的底数，对数函数以e为底数，为什么就自然了？换言之，e为底数的自然性在哪里？

自然性（naturalness）是科学探索中一个永恒的主题。中文的“自然”，语出老子的《道德经》：道法自然。如果把“法”字作为动词理解，那么科学对“道”的探索必须有某种自然性。不过，要对自然性作一个良好的定义，无疑是困难的。先举一个粗浅的例子，我们测量身高时，如果以公里为单位去测量，一米七五高的人，说他有0.00175公里高，便显然很不自然。单位是某种标尺，计算身高跟这个标尺的比值，得到一个无量纲的数字（如0.00175）。无量纲量是一个没有单位的数字，如圆周率，等于一个圆的周长和直径的比值。

无量纲的数字在物理学中有重要的地位，物理学的自然性就是期待一个好的物理学理论，其中的无量纲参数不能太大，也不能太小。对物理自然性更技术一点的定义是：一个小的无量纲参数可以被认为是自然的，只有当这个小无量纲参数趋于零时，系统呈现出新的对称性。也就是说，一个太小或太大的无量纲参数只有在这种情况下可以被容忍。

在标准模型里面，费米子的质量相比于对应的能量标尺，显得非常小，但当费米子的质量趋于零的时候，有新的手征对称性呈现出来，因此，我们认为费米子这个小质量是自然的。但是标量玻色子（如希格斯粒子）的质量相比于对应的大统一理论能量标尺，小得很不自然，因为标量粒子的质量趋于零的时候并没有新的对称性呈现出来，这也就是当今物理学的一大难题，称为等级差问题（hierarchy problem）。等级差问题的本质就是自然性。

回到数学上的自然性，以e为底的对数自然吗？那以10为底的对数是不是更为自然？

以10来计数，并没有数学上的自然性，只是一种文化属性。易经可以用二进制，一斤可以是十六两也就是半斤八两，很难说哪个更为自然。一个对数函数，无论以什么为底数，都有一个共同点，就是1的对数都为0。但在自变量为1的地方，对数函数曲线的斜率则取决对数函数的底数，只有把底数取为e时，斜率刚刚好为1。那么，斜率为1就自然了吗？我们可以用简单的泰勒展开式来回答这个问题：log(1+0.01)=log(1)+(斜率)× 0.01+...那么以e为底的话，1.01的对数值非常接近0.01，0.99的对数值非常接近于-0.01（log(1-0.01)=log(1)−(斜率)× 0.01+…）。

对照前面对物理学自然性的分析，让我们从物理学的角度看看何谓斜率。我们走上一个山坡时，上坡的斜率就是山坡的高度和宽度的比值，这是一个无量纲的参数。把上面的泰勒展开式看成一个物理学理论，那么，这个无量纲的参数不能太大也不能太小，等于1的时候最为自然。

自然性是天生的一种美学性质，有人就被e的美丽所迷惑，做出了很有趣的事情。大计算机科学家Donald Knuth创造的编程语言metafont，一出来就是第二版，然后就发布了2.7版，2.71版……到现在是2.7182818版。Google公司在2004年申请首次公开募股的时候，要募多少钱呢？$2,718,281,828。所以，看完这篇文章的朋友，以后过年发红包的时候不妨考虑一下2718元这个数字。

参考文献：

1. J . O’Connor and E. Robertson, "The number e".MacTutor History of Mathematics.

2. B. Malkiel, A Random Walk Down WallStreet, W. W. Norton & Company, Inc.

3. M. Gardner, "Memorizing Numbers." Ch. 11 in The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.

4. A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Second Edition, Princeton University Press.

作者介绍：中山大学物理学博士，中国科学院物理研究所博士后，2013-2014年曾任美国密西西比州立大学研究学者，主要研究量子场论和凝聚态物理理论的交叉应用。

《赛先生》第四轮选题发布，期待你来创作！

1. 我们到底需要多少睡眠时间？

2. “音乐疗法”有神经科学基础吗？

3. 为什么会有人“路痴”？

4. 人类的血型为何会有区分？

5. 你爱挂在嘴边的“脑补”，究竟是怎么产生的？

6. “球状闪电”究竟是怎么一回事？

7. 为什么会有人“晕车”“晕船”？

8. 昆虫可以成为人类的营养来源吗？

如果以上有你感兴趣的选题，请迅速跟“小赛”（微信id：saixiansheng2017）微信联系，也欢迎发邮件至 [email protected] 与我们进一步沟通！

投稿、授权等请联系：[email protected]

赛先生系今日头条签约作者

本文为头条号作者原创。

未经授权，不得转载。