【每日一题】多维随机变量的相依结构问题的模拟

摘要 多维随机变量的联合分布可以反映随机变量相互依赖的结构。如果能更准确地构造多维随机变量的联合分布，随机变量的研究就很容易了。如果多维随机变量的边际分布服从相同分布，服从正态分布、t分布或均匀分布等标准分布，则在相关系数P已知的情况下，可以得到更准确的联合分布；但是，如果随机变量的边际分布不服从同一分布，例如对于二维随机变量的联合分布，令边际分布 xt−Ⅳ(Hong, Ding2), X2−£ p”。Xi，可怕的相关系数P，那么如何构造它们的联合分布F(curse, x2)？即使随机变量的边际分布服从相同的分布，但服从的分布是非标准分布函数，随机变量的联合分布应该如何得到呢？对于多个随机变量之间相关性的研究，如果Shu和j的线性相关系数为p，经过j和.的一些变换，M=口t(五), K=hoe (fear). 那么，K和的相关性还能用线性相关系数P来衡量吗？如果用秩相关系数代替线性相关系数，那是什么？优势？在模拟时，c在预定的相关结构下生成具有任意边际分布的随机变量，同时可以构造随机变量的联合分布？泛函理论为解决上述问题提供了很好的思路和方法。函数描述了随机变量的相关结构，是构建相关多元随机变量联合分布的有力工具。

该函数将多维随机变量的联合分布构建问题独立地划分为边际分布的估计和边际分布之间的相关结构，使得联合分布的构建更加简单和准确。考虑到随机变量的相互依赖结构的基于函数的随机模拟明显优于忽略相互依赖结构的模拟。系统总结了函数的相关理论，包括函数的发展历史、函数的数学理论基础、函数的性质、主要的函数类、函数的构造方法、函数的参数估计方法、基于理论的随机变量研究。基于蒙特卡罗模拟的相关问题，以及该理论在金融领域的应用。本文在深入研究药数理论的基础上，在以下几个方面做了大量工作，这也是本文的创新点： 1.系统总结了功能的发展历程。该功能用于债券投资组合、信用评级评估、系统可靠性、生物统计等方面的期待应用。 2.在学习相关度量理论的基础上，分析证明函数与常用相关指标的关系，通过比较证明基于该理论的相关分析的优势。 3、基于C.puIa理论，进行Monte-Carlo模拟，模拟任意期望随机变量值，并通过实例说明如何构造联合分布函数。

4、研究了非对称函数的性质，给出了非对称程度的度量。关键词：相关度量，-Monte-Carlo 模拟，非对称，，。 ，， 离子。 ,,5月1日IV(),恐一£(展开),,ed?,.uAtioⅡ?.吴恐为P,thenK=al(X1)andY2=a2(兄弟),,, ,what't?,,cient?ns.,tri-..,-,.-.Thyun die,s,n,ds,itspa-heory,.lu,:1,,,,sis ,-tics ,etc.2,,-,'..3,nt,..4,e.:,,,-,,,l 论文原创性声明 我声明提交的论文是在 下独立完成的研究成果导师指导，文中引用他人成果，已依法明确标注或认可，论文内容不包含任何形式的法律意义上属于他人的研究成果，也不是否包括我以任何形式使用过的研究成果。论文或其他学位申请的结果。任何与我合作的同志对这项研究的贡献都在论文中明确说明并表示感谢。如果本人违反上述声明，本人愿意承担由此产生的一切责任。 d 后果。论文作者署名：懋 日期：2007 年 5 月 Day 论文知识产权 所有权声明 享有复制、公开阅读、借用和申请专利的权利。本人离校后发表或使用论文或与论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍为新疆大学。本论文属于：机密，于2010年解密后适用于本声明。非机密。 （请在上框中输入“~/”）宣誓迎来芋头；硫磺导师签名：-P Xie% , small 47 Date: May 2007 Date: May, 2007 1 1.1 是连接和交流的意思，源自拉丁文。

函数将随机变量的联合分布与边际分布联系起来。该理论可以追溯到1959年。Sklar提出了Sklar定理，证明了一个有限维联合分布可以分解为它的边际分布和一个表示结构关系的函数，它描述了变量之间的相关性。和一致性。由此可见，函数实际上是将联合分布与其各自的边际分布连接起来的函数，所以也称为连接函数。在对结构依赖进行建模时，函数比传统方法具有许多优势。首先，函数可用于灵活构建多元随机变量的联合分布。现有的多变量分布函数的构造理论大多是单变量分布函数的简单扩展。他们通常要求所有边际分布服从相同的分布。例如，多元正态分布的所有边缘分布都服从单变量正态分布。 a ± 分布的所有边际分布都服从单变量 t 分布。但在实践中，往往不能满足如此严格的要求，例如根据投资组合理论将一笔资金分散到股票市场、外汇市场和期货市场。在大多数情况下，股票市场的收益率分布和外汇市场的收益率分布并不服从同一分布；外汇市场的收益分配和期货市场的收益分配在大多数情况下不能被视为相同。再比如，如果资金分散在国内资本市场和国外资本市场，显然不认为国内市场和国外市场的收益率来自同一个分布；即使资金投在同一个市场，比如只投资沪深股市，由于行业不同，差异也会比较大。

这使得建立的模型有很大的偏差。理论构建的多元分布函数对边际分布没有限制，可以通过选择特定函数连接任何形式的分布（正态分布、-t分布、指数分布、对数正态分布等），生成一个有效的多元分布功能。这具有很大的自由空间和灵活的适用性，所建立的数学模型更能真实地反映本质问题。 其次，该理论在描述一致性和相关性方面起到了“规范化”的作用，将相关性和一致性的经典指标统一在群体理论之下。它们都可以用适当的函数来表示。不仅如此，通过对理论的深入研究，该函数在描述非线性相关方面有很多优点，比如在单调递增变换 l 下保持相关结构不变的优点。第三，在理论应用广泛的金融领域，很多金融理论都是基于正态分布的假设，具有一定的局限性。收益的分布被建模为一个函数，因为该方法放宽了正态性假设，通过不等依赖结构将边际分布组合成多维联合分布，可以更好地刻画财务收益的分布。此外，该函数考虑了动态建模和对不同组合的适应性，具有不同特征的弱数可以根据其特殊的依赖结构与不同的组合关联。

虽然ARcH模型和SV模型能够很好地描述金融时间序列的波动性，但参数估计等问题限制了向量ARCH模型和向量SV模型的发展。对于一些厚尾分布，GARCH 和 ARMA 等模型也可以捕捉到这种厚尾信息，但不能考虑时变的情况。连接函数可以清晰地描述研究对象的层次结构，不同层次的连接函数反映了不同层次的结构。例如，我们可以把股市看成一个具有三个层次的对象：个股、一个板块，而整个股市板块是由几只个股组成的。扇区用a表示第一个扇区，Q(u,,u2,?,un.)表示第a个扇区的‰个股的连接函数。整个股票市场是由k个板块组成的。 , 所以 c(vl, ?, jeer) 可以描述部门和股票市场之间的联系函数。注意它只是k个变量的函数，每个变量取一个[0, 1]中的值。很明显，板块之间的相关性是通过连接函数C来体现的，而板块a中个股的相关性是通过C的性质来体现的，所以有了连接函数，层次结构的分析就很清晰了。这种层次结构的分析对于可靠性技术分析也具有明显的意义。可靠性系统具有不同的层次。如果股市也一样，我们可以把它看成以下几层： 组件-组件-子系统-系统系列系统等价于C=Ⅱ，tgi stern C(ul,?,‰)=n结婚l(tear) , 并列系统等价于 C(ul,?,‰)=1-n-l(1-la)。

所以，连接函数的不同性质反映了可靠性分析系统的不同结构。理论建模，将多元联合分布分解为单个变量的边际交换分布和描述变量间相关结构的'Ha i数，即可以将边际分布与相关结构分开研究，使得建模问题大大简化，同时提高了模型的可用性。因此，理论是构建金融模型的有力工具。本文结构安排如下：“第一章引言部分介绍了数字的历史、国内外的发展趋势以及该理论应用于哪些领域；第二章首先介绍了函数的数学理论基础，然后介绍了Sklar定理。 ，研究了函数关于单调递增变换的稳定性，研究了非对称函数的性质，提出了衡量非对称程度的指标，这也是本文的创新点之一。第二章还介绍了构造函数的方法； ,'第三章总结了函数的主要分类和参数估计方法；第四章进行了总结； “统一”的作用。第五章，本文的另一创新点是将理论与蒙特卡罗模拟相结合，针对现有的正态爱数随机模拟算法，提出了一种基于t函数和阿基米德函数的随机模拟算法。 模拟算法。

并具体论证了基于随机值相关结构的随机模拟优于传统的 do模拟。本文最后总结了使用函数时应注意的问题。 1. 1959年斯克拉尔承认的学术界历史和发展理论的正式起点是斯克拉尔定理。事实上，在 Sklar 和做一些基础工作的过程中，他们发现了二元函数的边界问题，也就是常说的——下项。但在1960年代，受不发达条件的限制，该理论并没有得到迅速的发展和应用。随着计算机技术和信息技术的飞速发展，以及全球经济联系的日益密切copula方法及其应用，经典的多元联合分布函数估计方法在一些领域的应用开始凸显其不足。 Bouye，两人都做了大量的理论工作，H. Joe 的工作，R. b. las这本书总结了前人的研究成果，这两部作品也是具有教科书意义的经典作品。该理论的许多良好的统计性质得到了证明，并引起了统计学家和经济学家的关注。

1999年，李（2000)在他的3篇文章ach中使用该函数，首次将李理论引入金融领域，研究了多个债券的违约矩（）的联合分布） ,标志着该方法在违约建模中的第一次尝试。信用风险模型可以分为两类：一类是结构模型（），另一类是简约模型，也称为强度模型（-）copula方法及其应用，李， Frey and (2001)) 的论文使用该方法研究结构模型中的依赖默认值，而 and (2001)- 的论文使用该方法改进简约模型的依赖结构。这是该理论在精算学上的首次应用，他用两个参数和两个变量研究了生存年金和联合年金的界限，也用理论研究了损失模型和风险评估问题。广泛应用于保险精算领域。理论近年来发展迅速，许多学者介绍了相关性和金融风险分析的理论和应用。